Быстрая сортировка Хоара

Продолжая тему рекурсии, познакомимся с реализацией на C# еще одного известного рекурсивного алгоритма, применяемого при сортировке массивов. Описанный ранее рекурсивный алгоритм сортировки слиянием имеет один существенный недостаток – для слияния двух упорядоченных массивов за линейное время необходима дополнительная память. Разработанный Ч. Хоаром метод сортировки, получивший название быстрого метода сортировки – QuickSort, не требует дополнительной памяти. Хотя этот метод и не является самым быстрым во всех случаях, но на практике он обеспечивает хорошие результаты. Нужно отметить, что именно этот метод сортировки встроен в класс System.Array.

Идея алгоритма быстрой сортировки состоит в том, чтобы выбрать в исходном массиве некоторый элемент M, затем в начальной части массива собрать все элементы, меньшие M. Так появляются две подзадачи размерности – k и n-k, к которым рекурсивно применяется алгоритм. Если в качестве элемента M выбирать медиану сортируемой части массива, то обе подзадачи имели бы одинаковый размер и алгоритм быстрой сортировки был бы оптимальным по времени работы. Но расчет медианы требует своих затрат времени и усложняет алгоритм. Поэтому обычно элемент M выбирается случайным образом. В этом случае быстрая сортировка оптимальна лишь в среднем, а для плохих вариантов (когда в качестве M всякий раз выбирается минимальный элемент) имеет порядок n2.

Несмотря на простоту идеи, алгоритм сложен в своей реализации, поскольку весь построен на циклах и операторах выбора. Я проводил построение алгоритма параллельно с обоснованием его корректности, введя инварианты соответствующих циклов. Текст обоснования встроен в текст метода. Приведу его, а затем дам некоторые объяснения. Вначале, как обычно, приведу нерекурсивную процедуру, вызывающую рекурсивный метод: Read more »

Корректность методов

Написать метод, задающий ту или иную функциональность, нетрудно. Это может сделать каждый. Значительно сложнее написать метод, корректно решающий поставленную задачу. Корректность метода – это не внутреннее понятие, подлежащее определению в терминах самого метода. Корректность определяется по отношению к внешним спецификациям метода. Если нет спецификаций, то говорить о корректности “некорректно”.

Спецификации можно задавать по-разному. Мы определим их здесь через понятия предусловий и постусловий метода, используя символику триад Xoара, введенных Чарльзом Энтони Хоаром – выдающимся программистом и ученым, одну из знаменитых программ которого приведем чуть позже в этой лекции.

Пусть P(x,z) – программа P с входными аргументами x и выходными z. Пусть Q(y) – некоторое логическое условие (предикат) над переменными программы y. Язык для записи предикатов Q(y) формализовать не будем. Отметим только, что он может быть шире языка, на котором записываются условия в программах, и включать, например, кванторы. Предусловием программы P(x,z) будем называть предикат Pre(x), заданный на входах программы. Постусловием программы P(x,z) будем называть предикат Post(x,z), связывающий входы и выходы программы. Для простоты будем полагать, что программа P не изменяет своих входов x в процессе своей работы. Теперь несколько определений:

Определение 1 (частичной корректности): Программа P(x,z) корректна (частично, или условно) по отношению к предусловию Pre(x) и постусловию Post(x,z), если из истинности предиката Pre(x) следует, что для программы P(x,z), запущенной на входе x, гарантируется выполнение предиката Post(x,z) при условии завершения программы. Read more »